淘宝一口价两元是什么意思,头条收益一个月2元多
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我跟你差不多。但是我们要坚持下去，收益不重要，重在我们练练脑子，磨练磨练心性。
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在头条上创作，要有一颗平常心，不能急于求成，看看司马南等大咖，我们不能羡慕。我们把自己工作，生活写好，就非常棒了。我们把快乐分享出去，让友友们一起快乐！
数学上的连续的概念？
（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气！这里，小石头准备用 十个话题，将 连续概念的 全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）
连续 就是 一个接一个持续不间断 之意。日常生活中 的 绳子、电源线、项链 都是 具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。
数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。
最初，人们认为：
整数集 Z 是不连续的，因为 在 0 和 1 之间，存在 1/2 将它们隔开；
有理数集 Q 是连续的，因为 Q 具有 稠密性： 在任意 两个 不同的 有理数 之间，都存在 无数个有理数；
但是，后来随着 √2 的发现，人们才知道 有理数 之间 还存在 无理数，因此 有理数集 Q 不连续，而有理数 + 无理数 组成的 实数集 R 才是真正 连续的。
同时，人们还认识到 稠密性 ≠ 连续性，我们需要重新寻找 实数的连续性的定义！早期，人们将 实数 和 直线上的 点 一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与 直线 一一对应的 实数集 也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集 K，可以进行如下分割操作 ：
K 的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成 一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将 一条线 分为左右 A，B 两段 ，显然， A 和 B 满足条件：
左半 边 A 中的 任意 数字 都小于 右半边 B 中的任意 数字
称 满足上面 条件 的这种 分割操作，为 戴德金分割，记为 A|B。人们发现，因 K 是否连续，戴德金分割的结果有差异：
如果 K 不连续，则 这条线上存在缝隙，当 刀刚好 从某个缝隙点穿过 时，分割的结果是：A 没有 没有 最大值 并且 B 没有 最小值；
如果 K 连续，则 这条线上 不存在缝隙点，于是 刀 一定砍在 某个点 x 上，又因为点不能被分割，于是刀要么从 点 x 的左边穿过，这时 B 的最小值是 x，要么从 点 x的右边穿过，这时 A 的最大值是 x；
于是，大家就将上面的结论2 作为 数集K的连续性定义。实数集 R 符合这个定义的要求 而 有理数集 Q 不满足，我们称 实数为 连续性系统，简称，连续统。
不仅仅是直线，平面上的 曲线 也都是连续性的，而 曲线又与 实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是 如何 在 实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。
一个实函数 f(x) 定义为 实数集 R 的子集 E 到 实数集 R 的 映射，记为, f: E → R (E ? R)。我们要搞清楚 整个 函数 f(x) 的 连续性，就要先搞清楚 函数 f(x) 在 定义域 中的 每一个 点 x? 处的连续情况。
首先，如果 x? 点 不存在，即，x? ? E，则 函数 f(x) 在 x? 点 看上去的确是不连续， 我们称 这样的 点 x? 为奇点。
但是，这种不连续 是定义域 E 的不连续引起的，它属于 第一个话题讨论的 数集E 的连续性，而非这里要讨论的 函数 f 的连续性。函数 既然是 映射，那么 其连续性应该体现为：保持连续性，即，
将定义域 E 中的 连续部分 映射为 值域 R 中 连续的像集
而 对于 E 的不连续部分，由于 根本没有机会体现 f 的连续性，同时也无法找到 不连续的 证据，所有 我们只能默认 这部分点 在 f 上 是连续的 。
接下来，我们先分析 E 中的连续部分中的点。
设 E 中 x? 附近定义域局部是连续的，如果 f 在 x? 点 是连续性，则根据 保持连续性 要求， f(x?) 附近的影像 也应该是连续性。但是，事实上，函数值 f(x?) 可以与其 右边、 左边 或 两边的 函数值 断开，
这些情况，都违反了 保持连续性，因此 这时 函数 f(x) 在 x? 就是不连续的，我们称 这样的点 x? 为 f(x) 的一个断点。而只有当 函数值 f(x?) 与其 两边的函数值 都连贯，
才能 说 函数 f(x) 在 x? 连续，我们称 这样的点 x? 为 f(x) 的一个连续点。
我们仔细观察，上面 x? 左边连续、右边断开 的情况，
就会发现：
由于左边连续，当 x 从 左边无限逼近 x?点 时， 函数值 f(x) 也会 无限逼近 f(x?)；
而 因为 右边断开，当 x 从 右边无限逼近 x?点 时，函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 和 f(x?) 之间 相差 断开的 间距 b ，从而不相等；
我们 称 x 从 左边、右边 或 两边 无限逼近 x?点 时， 函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 为 f(x) 在 x? 点的 左极限、右极限 或 极限，分别记为：
也写成：
这里 x → x? 表示： x 无限逼近 x? 点，方向没有限制；x?? 与 x?? 分别限制 只从 x? 的左边 与 右边 逼近。
则，根据上面的发现， 函数 f(x) 在 x? 点 连续，就意味着：f(x) 在 x? 点的极限 是 f(x? )，即，
这就是，函数在点 x? 处连续的第一种定义。
接着，再考虑 E 的不连续部分对于 上面定义的影响。我们用 x → x? ∈ E 来表示 在 E 内 受 E 的制约下 x 无限逼近 x?，即，只有当 E 使得 x? 左（或 右）连续时，从 左（右）边逼近 才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E 的不连续性 被从 f(x) 的 连续性中 完全排除，f(x)的连续性 只要保证 E 中连续的部分保持连续 就好了。例如，以下 E 中的不连续点 对于 f(x) 都是连续的：
特别是 x? 这样的 孤立点，使得 既不能从 左边逼近 也 不能从 右边，于是 逼近 失去意义，它总是连续的！
最后，在 函数 f(x) 关于点x? 连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数 f(x) 在每一个点 x? 处都是连续的，则称该函数 f(x) 是连续函数。
前面的讨论说明 极限 和 连续性 是紧密相关的，因此 我们有必要开启第三个话题 ，以通过进一步分析 极限，来 揭示 连续性 的根深层 的内容。
上面极限定义中用 箭头 表示的 “无限逼近” ，仅仅是一种直觉概念，并不是 明确的 数学定义。 这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用 ε-δ 语言 补足。
对于 任意 极限 x → x?, f(x) → A，我们 令，
δ = |x - x?|
则 δ 表示 当前 x 逼近 x? 的逼近距离，由于 无限逼近 要求 x ≠ x?，所以 逼近距离 δ = |x - x?| > 0。
同理，可以 令，
δ' = |f(x) - A| > 0
于是，极限 x → x?, f(x) → A，可以描述为：
当 x 到 x? 的 逼近距离 δ 无限小时， f(x) 到 A 的逼近距离 δ' 也跟着无限小。
这里 δ' 的无限小，就意味着：
给定义 任意 f(x) 到 A 的逼近距离 ε 都 存在 （δ 导致下 的）逼近距离 δ' < ε。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x?| = ε 的 点 x 有 |f(x) - A| < δ
这就是 最初 极限的 ε-δ 语言定义，但 这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x? = 0 时的值会不停在 -1 到 1 之间震荡，所以 x? = 0 应该没有 极限值才对。但是根据 上面的 定义， A = 0 却是 x? = 0 处的极限，因为：
对于任意 的 ε > 0 ，总存在 δ = 1/ π > 0，使得 满足 |x - 0| = δ 的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着 δ 的减小 δ' 是递减的，即，对于 任意 逼近距离 小于 δ 的逼近点 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距离 小于 δ'
翻译成数学语言，就是：
对于 任意 满足 0 < |x - x?| < δ 点 x 都有 |f(x) - A| < δ'
用这个要求，修正前面的定义，最终 ε-δ 语言下 极限的定义：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε，则 称 A 是 f(x) 在 x? 点的极限。
对于，左极限 或 右极限，我们只需要在上面定义中，加入 x < x? 或 x > x? 的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用 ε-δ 语言 来描述 前面的 函数的一点连续性：
给定 f(x) 上的一点 x?，如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - f(x?)| < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这里允许 x = x? （区别于 极限的定义）有两方面原因：
已经规定了 x? 是 f(x) 上的点，即，x? ∈ E 存在；
为了让 孤立点 是 连续点。
到此为止，我们所讨论的 函数连续性 仅仅是对 一元函数而言的，那么多元函数的 连续性 又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个 m 元函数 记为 f: E → R (E ? R?)，其中，
称为 m 维欧氏（向量）空间，R1 = R 就是 实数空间。
注意：这里 变量 的上标 和 变量 的 下标 一样，表示 序号。
也就是说，多元函数 f(x) = f(x1, x2, ..., x?) 就是以 向量 x = (x1, x2, ..., x?) 为 变量的 函数。
设 x? = (x1?, x2?, ..., x??) ∈ E，并且 x? 周围的 定义域 连续性。
我们，定义 x → x? 为：
x1 → x1?, x2 → x2?, ..., x? → x??
其中 个变量 的 无限逼近 是 独立的，这保证了 向量 x 可以从任何方向 逼近 向量 x? 。
这样以来，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
接着，我们在 R? 中定义 向量 x 与 x? 之间的 距离为：
| x - x?| = √[(x1 - x1?)2 + (x2 - x2?)2 + ... + (x? - x??)2]
注意：这里 () 的上标 表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的 ε-δ 语言 描述 对于多元函数依然有效。
多元函数 的连续性，依然是 对 E 内部而言的，忽略 E 本身的 不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然 向量可以作为 函数的 变量，那么 就可以 作为 函数的 值，这样的函数 称为 向量函数。
多元向量函数 f: E → R? (E ? R?)，可以认为是 n 个 m元函数 的向量，即，
f(x) = (f1(x), f2(x), ..., f?(x))
于是，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了 距离，故 一点连续的 ε-δ 语言 描述，对于 多元向量函数 也是无缝 一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数 为例，来看看 上面抽象讨论的 具体面貌。
一个复函数，记为 f(z) : C → C ，其中 复平面 C 二维平面 R2 的扩展，具有 R2 的完全性质。复函数 可以写为：
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
它将 一个复平面 上的 任意 点 z? = x? + iy? 映射为 另一个复平面 上的点 f(z?) = u(x?, y?) + iv(x?, y?)，同时，将整个前一个复平面 映射为 后一个复平面的一部分。
点 z? 附近 的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近 z → z? 解释为 x → x?, y → y?。
极限连续条件：
在这里的意思是：z 从任意方向 无限接近 z? 时，f(z) 都会无限接近 f(z?)， 解释为：
用 ε-δ 语言 描述为：
对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |z - z?| < δ 的 复平面上的 点 z 都有 |f(z) - f(z?)| < ε。
其中，复数间距离定义为：
|z - z?| = √[(x - x?)2 + (y - y?)2]
前一个话题中，提到 多元函数 定义域 E 的连续性，我们 并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的 第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线 上缺失点，则 这条线 一定断开，不再连续，但，一个 平面 上 缺失点，则 只能 说明 这个平面 有 破洞，不再完整，不能说明 平面 不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于 任意维度空间 V，来说，我们用 完整的概念 来代替 连续，称为 空间 V 的完备性。可以认为，完备性 是 连续概念的 升级， 一维空间的 完备性 就是 连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面 或 超曲面，其所谓 连续性也只是表示 曲面 上没有破洞 ，即， 完整之意，但 为了 兼容性，我们依然 称之为 函数连续性。
其次，我们 第一个话题 中讨论的 数集 K 的 连续性定义，默认要求 K 中元素 是可以排除一条直线，而高维度的空间是 平面 或 超平面，根本就不是 直线，因此 这个定义无法 被 完备性 使用，我们需要 重新寻找，一种新的方法，来判定 空间中 是否有 点的缺失。
要 判定 空间 V 中 某个点 A 是否缺失，我们首先要 指向 这个点 处，前面 极限的无限逼近 是一个好的 思路，
如果 我们 可以找到： 一个 函数 f: E → V（E ? R），当 x 无限逼近 x? 时，f(x) 无限逼近 某处，则
如果 V 在 该处 没有缺失，对应 点 A，则 f(x) 在 x? 点的极限 存在，就是 A；
如果 V 在 该处缺失，则 f(x) 在 x? 点没有极限；
如果，判别 函数 f(x) 是 无限逼近 某处 呢？原来的 ε-δ 语言下的 判别标准：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε
显然不行，因为 我们 无法 确定 A 点 是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于 任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的任意两点 x = x?, x? 都有 |f(x?) - f(x?)| < ε
这个新判别标准，避免了 A 的出现，但又 可以证明 与原判别标准 等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了 V 完备性的一个粗糙条件，
任意一个 在 x? 满足 新判别标准 函数 f(x): E → V，都在 x? 处 有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们 固定 x? = ∞，让 E 为 自然数集 N 并令，
a? = f(0), a? = f(1), ...., a_n = f(n), ...
这样 我们就将 函数 f(x) 转化为 序列 a?, a?, ....，函数 f(x) 在 x? 处是否极限，转化为 序列 a?, a?, .... 是否收敛。对于序列 新判别标准也更简单：
对于 任意 ε > 0，都存在 自然数 N ，使得 任意 自然数 m, n > N 都有 |a_m - a_n| < ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是 空间 V 完备性的 最终定义为：
如果 V 中任意基本列 都是 收敛列，则称 V 是完备的。
这个定义，仅仅要求 V 中定义有距离 |a_m - a_n|，我们前面已经定义了 欧氏空间 R? 中的 距离，因此 这个定义可以用于 判断 欧氏空间 的 子集 E 的 完备性。
空间 V 中的距离，是 V 上的 二元函数 d(x, y): V × V → R，它满足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
对称性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我们称 定义有 距离函数 的空间 V 为 距离空间，记为 (V, d)。可以验证前面定义 的 距离 满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如 R? 中也可以这样定义距离：
d(x, x?) = |x1 - x1?| + |x2 - x2?| + ... + |x? - x??|
上一个话题 引入了 距离空间 的概念，如果我们回顾，前面 多元向量函数的 ε-δ 语言所描述 的 连续性 定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于 距离。这说明，对于 任意距离空间 (V, d?) 到 (W, d?) 的映射 f: V → W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 d?(x, x?) < δ 的点 x 都有 d?(f(x) - f(x?)) < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这样 我们就将 函数的连续性 推广为 距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比 距离空间 更 一般的空间 呢？如果有，这个空间上映射的连续性 又是如何定义的呢？ 接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论 实函数 的地方！
对于 实函数 f(x) 定义域 E 中 的 任意集合 U， 定义 U 在 f 下的像 为：
f(U) = {y : ? x ∈ U，f(x) = y}
然后，再仔细观察比较，f(x) 在 x? 点，两边断开 的情况，
以及 两边连贯 的情况，
我们就会发现：
如果 x? 是 间断点，则 存在 真包括 f(x?) 的区域 V，对于 任意 真包括 x? 的 区域 U 都 无法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内；
如果 x? 是 连续点，则 对于任意 真包括 f(x?) 的区域 V，都 存在 真包括 x? 的 区域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内，
其中，区域 U 真包括 x? ，的意思是： U 包括 x? 但不仅仅 包括 x?。
这里必须是真包括，因为，如果 允许 U 只包括 x?，即， U = {x?} ，则 f(U) = {f(x?)} 显然包含于 V，于是，上面的 发现1 就不成立了。
考虑 包含 x? 的开区间 (a, b)，因为 a < x?，根据 实数的稠密性，一定存在 x? 使得 a < x? < x?，故 (a, b) 一定不仅仅包括 x?，于是，要让 U 真包括 x?，我们只需要让 U 包括 包含 x? 的开区间 (a, b) 就可以了。我们称 包括 x? 的某个开区间 的区域 为 x? 的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到 实函数一点连续的第二个定义：
如果 对于任意 f(x?) 的邻域 V，都 存在 x? 的 邻域 U，使得 f(U) ? V，则 称 函数 f(x) 在 x? 点连续。
若，令 V = {y : |y - f(x?)| < ε}，U = { x : |x - x?| < δ }，则 上面的定义 其实就是 第一个定义的 ε-δ 语言 描述了。
对于多元向量函数，因为 平面，超平面 没有 区间一说，所有，我们用 开集 代替 开区间，重新定义邻域如下：
包括 x? 的某个开集 的区域 称为 x? 的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到 元向量函数 上了。同样以 前面的复函数 f(z) 为例，观察比较 z? 附近 连续 和 间断的 情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以 任意集合 只要 在其中 指定 开集， 我们就可以得到 其上 映射连续性了。
指定了开集的 集合 X，被称为 拓扑空间，如果用 τ 表示 X 中 全体开集组成的 子集族，则 拓扑空间 记为 (X, τ)。开集 是 开区间 的拓广 概念，它需要满足如下条件：
全集 X 与 空集 ? 都是开集；
任意 多个 开集的 并 依然是开集；
任意 两个 开集 的 交 依然是开集；
我们，可以 证明 拓扑空间 是比 距离空间 更广泛的 空间。
拓扑空间之间的 映射，称为 拓扑映射，其 一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于 映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的 连续函数 概念，我们定义 映射的整体连续性，如下：
如果 映射 f 在其 定义域 中 每一点 都连续，我们称 f 是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于 拓扑空间 (X, τ?) 到 (Y, τ?) 的 拓扑映射 f: X → Y，我们也可以 用开集 来直接定义 其整体连续性。
对于 映射 f 的 值域 任意 区域 V ? Y，定义 V 在 X 中的 原像 为：
f?1(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数 与 非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集） A 的 原像 f?1(A) 依然是 开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集） A 的 原像 f?1(A) 不是 开区间（开集）。
对上面的 发现1，进行整理，我们就到如下 关于 拓扑映射整体连续性的 定义：
如果 拓扑映射 f，使得 Y 中的任意 开集 A 的原像 f?1(A) 依然是 X 的开集，
即，
? A ∈ τ? ? f?1(A) ∈ τ?
则称 f 为 连续映射。
除此之外，我们将 闭区间 推广为 闭集 ，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集） A 的 原像 f?1(A) 依然是 闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集） A 的 原像 f?1(A) 不是 闭区间（闭集），
这说明，我们将上面 拓扑映射整体连续的定义 中的 开集 替换为 闭集 后 依然 有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为 逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种 整体连续性——一致连续。
考虑实函数 f: E → R (E ? R)，如果 对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |x? - x?| < δ 的 x? 和 x? 都有 |f(x?) - f(x?)| < ε，我们就称 f 是一致连续的。
我们只要将 x? 替换为 x? 并固定，则 上面的定义 就是 x? 点连续的定义，然后 再放开 x?，则 上面的定义 保证了 每个 x? 处的连续性，进而，也就保证了 逐点连续，因此 一致连续的 一定是 逐点连续的。
但是反过来，逐点连续 不一定是一致连续了。考虑 前面那个 函数 f(x) = sin(1/x)，我们令
E = (0, π]，x? = 1 /(kπ) , x? = 1/(kπ + π/2)，k 是自然数，
则 有，
|x? - x?| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x?) - f(x?)| = |sin(kπ) - sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
这样以来，对于 存在 实数 1 > ε > 0，对于 任意 δ > 0，由于 E 中的点 x? 和 x? 可以无限小， 于是 总是 存在 k 使得 |x? - x?| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x?) - f(x?)| = 1 > ε。这说明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上 不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续 一定是 一致连续 呢？
由于 f 逐点连续，则意味着 给定 任意 ε > 0， 对于 每个 x? ∈ E，都存在 δ_x? > 0 使得 满足 |x - x?| < δ_x? 的点 x 都有 |f(x) - f(x?)| < ε/2。
令，V_x? = { x ∈ E : |x - x?| < δ_x?/2}，因为 每个 x? ∈ E 都属于一个 V_x? 所以，
如果，能 从 E 中找到 有限 n 个 x?： x?1，x?2 , ..., x?? 保证：
则，令
δ = min {δ_x?1, δ_x?2, ..., δ_x?? } / 2
由于， 每个 δ_x?? > 0， 而 n 是有限的，所以 δ > 0。
注意：这里必须保证 n 有限因为，当 n 无限时，即便是 每个 δ_x?? > 0，它们的最小值依然可以 为 0，例如：
min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } = 0
对于 任意满足 |x? - x?| < δ 的 x? 和 x?，中 必然 有 x? 属于 某个 δ_x??，满足，
|x? - x??| < δ_x??/2
根据 距离的三角不等式：
|a - b| ≤ |a - c| + | b - c|
有，
|x? - x??| ≤ |x? - x?| + |x? - x??| < δ + δ_x??/2 ≤ δ_x??
由 |x? - x??| < δ_x??/2 < δ_x?? 与 |x? - x??| < δ_x?? 分别可得到，
|f(x?) - f(x??)| < ε/2 与 |f(x?) - f(x??)| < ε/2
再次使用 三角不等式，就得到：
|f(x?) - f(x?)| ≤ |f(x?) - f(x??)| + |f(x?) - f(x??)| < ε
这样，就推导出了 一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从 E 的 任何 一个开区间（开集）的覆盖（简称 开覆盖） V = {V_x? : x? ∈ E}， E ? ∪V 中找到 有限个元素的子集 W = {V_x?1, V_x?2, ..., V_x??} ? V 依然是 E 的覆盖 E ? ∪W。
我们称 满足上面要求的 集合 E 为紧致的。
数学家证明了：任意 闭区间 都是 紧致的！所以说，闭区间上的 连续函数 一定是 一致连续的。
如果 从新令 E = [π, 2π]，则 E 是一个闭区间，于是之上的 连续函数 f(x) = sin(1/x) 这会就变成 一致连续的了。前面，由于 E 中的点 x? 和 x? 已经不可以无限小了，于是前面 的反例 也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑 实函数上 f 上任意一点 x? ，x? 与 右（左）边断开，有两种情况，
x? 的右（左）极限存在，但不等于 f(x?)，这种断开 称为 第一类间断；
x? 的右（左）极限根本不存在，这种断开 称为 第二类间断；
设 x? 是间断点，如果 x? 只包含第一类间断的 间断点，称 x? 为第一类间断点，否则 称 x? 为第二类间断点。
如果 第一类间断点 的 左极限 = 有极限，则称 其为 可去间断点。
单调函数如果有间断点 则其必然是第一类间断点。
前面我们用 完备性 替换连续性来 描述 空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕 是有可能 将 整个空间 分割的，这就牵扯到了 空间的 连通性问题。
对于 一个拓扑空间 (X, τ) 可以有两个不同的连通：
如果 X 不能分割为 两个 不相交的开集的并集，即，
? A, B ∈τ ? A ∩ B = ? ∧ A∪ B = X
则，称 X 是连通的；
如果 X 中任意两点 x, y 都存在 从 x 到 y 的 道路，即，
? x, y ∈ X ? ? r: [0, 1] → X ? r(0) = x ∧ r(1) = y
则，称 X 是道路连通的；
拓扑空间之间的 连续映射 f: X → Y，可以保持 连通性，即，如果 X 是 连通的，则 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 连通的。连续映射 也可以保持 道路连通性 以及前面的 紧致性。这些可以被 连续映射 保持的性质，称为 拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论 进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的 有理数（实数）的 稠密性，与 有理数 在 实数 中 稠密 是两个概念。
我们说 拓扑空间 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 对于 X 中的每个点 x 都有 A 中的序列 a?, a?, ...， 收敛于 x（一般定义为： A 的闭包 ā = X）。
有理数 在 实数 中 是稠密，因为 对于 每个实数 x，
要么表示为 有限小数，例如：x = 1/2 = 0.5，则， 收敛于 x = 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；
要么表示为 无限循环小数，例如： x = 1/3 = 0.3?，则，收敛于 x = 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；
要么表示为 无限不循环小数，例如： x = π = 3.14159?，则，收敛于 x = π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；
其三，连续性与可导性 之间，靠极限关联。由于，f(x) 在 x? 点的导数定义为：
如果 f(x) 在 x? 处不连续，则 当 x 趋近 x? 时，|x - x?| 趋近 0 ，|f(x) - f(x?)| 不趋近 0，这导致 f’(x?) = ±∞ ，即， f(x) 在 x? 处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x) 在 x? 处可导 则 f(x) 必然在 x? 处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性 可以在 函数的代数运算 上保持，即，连续函数的 加减乘除 依然是 连续函数。微分，积分 也可以保持 函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持 函数连续性（而函数上 的可导性 与 可积性，则 要求 是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括 在 中值定理 中的 作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考 《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也 牺牲了 严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的 切入角度 和 推进方式，都是 针对 学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过 《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)
你在火车站被骗过吗？
火车站最经典的那些骗局骗术，我一个也没有逃过！记忆最深的五次火车站被骗经历，你们觉得哪一次我不活该被骗？
第一次：手机模型骗局
全国很普遍的骗局，手法虽然普通，但是上当受骗的人真不少。
2016年在郑州火车站转车的时候，因为舍不得花钱去附近大酒店开钟点房，就一个人在火车站广场坐着玩手机。没过多久，一个中年大叔就凑了上来，神神秘秘地掏出一个苹果6s手机，本来我对这种陌生人搭讪就比较烦反感，毕竟人生地不熟的。但是当时苹果6s刚上市，价格是6500元，自己攒了几个月的钱，始终还是买不起，所以看到这个手机我就来了兴趣。
大叔看到我对手机特别感兴趣，就赶紧说，这是他今天早上在火车站捡到的手机，先让我看看手机满意吗，满意的话就便宜卖给我。之前我也听说过火车站有这些卖手机之类的骗局，但是想着如果自己谨慎一点，应该没事，而且刚才玩了下这个手机，确实太喜欢了。
手机看了下，确实是真手机，而且其他毛病也没有，我就给了大叔2500元，就在给完钱后，大叔突然提出要把他的手机卡给拿回去，也就是这个时候大叔掉包了！当时的我完全沉寂在买新手机的喜悦中，根本没有察觉大叔的慌张神情，结果等大叔走了很久，我拿出来手机再一看：花了2500元买了一个手机模型！
第二次：象棋残局骗局！
有一定的象棋水平，周围的托也需要一定的演技，受骗者全部以男性为主。
2018年在济南火车站附近，刚吃完午饭，闲得没事，就在附近溜达，看到路边有很多人在围观看人下象棋，由于自己对下象棋还是非常感兴趣的，就凑过去看一看。谁知道这是象棋残局，也就是说谁能下赢老板，老板就给谁100元钱，谁要是输了就要给老板100元钱。让人兴奋的是，自己可以先选红黑棋，而且看到围观的好几个人都赢了老板的钱。
我自己在旁边看了半天，感觉这棋局太简单了，就跟捡老板的钱一样。于是我就抢着跟老板下一局，刚开始的第一局，我确实轻松地赢了，老板也给了我100元钱，看着赢钱这么轻松，我彻底放下了内心的戒备，结果在围观人们的起哄下，我就彻底掉入圈套里面了，除了开始赢的几百块钱，后面不到半个小时，我就输完了钱包里面的3800元钱。由于输的钱太多，我就在附近马路一个人坐着发呆，结果发现围观的那些人，很多都是托！
第三次：借钱买票骗术
利用大家同情的同情心，纯个人演技的展示，精湛的演技是确定收入的标准。说实话这种骗术，太缺德了！
2019年在西安火车站转车，中午的时候，刚在人工售票窗口买完晚上的卧铺车票，刚出门没多久，就有一个中年阿姨过来问我借钱，说是要从西安回湖北老家，自己的钱包和手机被偷了，身上钱不够买票了，还差80块钱才能够买票回家，希望我能借给她80块钱。我打量了一下这个阿姨，全身穿着衣服都很干净，而且还拖着一个行李箱，怎么看也不像是一个骗子。这位阿姨还给我说，让我把手机号给她，等她回家就让家里人把我转给我。看到阿姨几乎快哭了的表情，我当时没有丝毫的犹豫，就拿出钱包给了她100元钱，让她拿剩下20块钱吃个饭，也没有把手机号给她，说算了，就当我做好事了。
因为我要乘坐的火车是晚上开的，傍晚的时候我就来到火车站广场等车了，结果发现中午那位阿姨又在跟别人借钱，还是拉着那个熟悉的行李箱，还是一样几乎快哭的神情，只是借钱对象，她是换了一个又一个。当她在四处张望寻找下一个目标的时候，和我的眼神相对的时候，我能明显地看到她一脸的羞愧和尴尬。很明显了，我认为的可怜阿姨，是一位演技精湛的骗子！
第四次：被“碰瓷”骗局
利用人们着急坐车的心理，再扮演让大家同情的角色，骗局并不高明，但行为真的可耻。
2020年武昌武昌火车站，准备排队进候车大厅的时候，由于自己一直低头玩手机，跟迎面过来一个十七八岁的小姑娘碰到了一起，当时感觉自己的速度并不快，就这样小姑娘还是被撞倒在地上了，说实话我当时真有点感觉得她这动作太夸张了。
我一边本能地说着对不起，一边赶紧把小姑娘扶起来，这时候小姑娘就开始她更浮夸的表演了，从口袋里拿出了一个碎屏不能开机的手机，说我给她的手机被我碰坏了，这是她勤工俭学一个月攒钱买的，说完就要让我赔给她2500块钱。听到这金额，我就头大了，我肯定不会给的，就这么碰了一下，就让我出2500元，换谁谁愿意给她呢？
小姑娘见我不愿意给她钱，结果直接一屁股坐在地上抱着我的腿，不让我走了。这时候旁边也围观了很多人，我估计这里面也有她的助演，因为自己着急赶火车，加上围观人们一边倒的支持小姑娘，最终和她商量了一下，给了小姑娘500元钱，赶紧进站检票去了！后来给武汉的几个朋友说了这件事，结果朋友们明确告诉我，我被骗了，那小姑娘是老演员了！
第五次：商店找钱骗术。
利用大家大意的心理，骗术手法并不高明，但是这种行为会影响，车站附近的整体形象！
2015年太原火车站，晚上出站后等朋友来接我，闲着没事就到附近一家商店买东西，买了二十块钱的东西，我给了老板一百块钱，老板当着我的面数了80块钱给我，没有五十的，也没有二十的，全是十块的，虽然我当时感觉有点奇怪，但是老板数钱给我看的时候，我也看到确实是80块钱，所以就没有多想就走了。
买完东西出来后，感觉肚子饿了，就在附近饭店吃了一碗面。付账的时候才发现，钱包里的钱只有60块钱了，说来也巧了，我钱包里其实就那一百块钱了，而且从商店到饭店一百米的距离都不到。我敢肯定百分之百是商店老板给我做了手脚，当时正好朋友也来接我了，我二话不说，就拉着几个朋友气冲冲的去找商店老板去了。
几个人刚进商店，老板一看这架势就有点害怕了，我话还没说呢，老板就主动地拿了二十块钱放在桌上了，一句话也不敢说。后来朋友也给我说了，火车站商店买东西，找钱的时候自己一定要当面再数一遍，还好这是在太原火车站，要是在外地火车站，我也只能吃个哑巴亏了！
总结：
随着社会的进步，高铁站的发展，现在火车站周边的治安环境已经整体改善了，现在基本看不到这样的骗局骗术了，但是我们出门在外，不仅是火车站附近，还是在其他地方我们都要注意：
第一：不要贪图小便宜，更不要相信，天上掉馅饼的好事。
第二：害人之心不可有，防人之心不可无，对于一些陌生人，不要同情心泛滥！
第三：如果真的确定被骗，第一时间找警察来处理！
乌克兰人的生活水平达到什么程度了？
乌克兰人的最低工资为120美元，约为人民币800元，平均工资为368美元，约为人民币2400元。
在乌克兰，餐厅服务员一个月能赚1100元。酒店服务生一个月能赚1300元。水泥厂职工一个月能赚1900元。煤矿工人一个月能赚2800元，医生一个月能赚3900元。
乌克兰地处欧洲，相比欧洲其他国家来讲，乌克兰人的工资赚得真不多。但乌克兰的物价也是很便宜的，毕竟乌克兰也是一个农业大国。
这是一个在乌克兰打工的朋友告诉我的，现在乌克兰处于动乱时期。乌克兰人民的正常生活和经济发展都受到了很大的影响。
不少朋友都很好奇乌克兰人民的生活达到了什么水平呢？下面就简单聊一下乌克兰的基本情况和乌克兰人的生活是什么样子的。
乌克兰的经济水平乌克兰位于欧洲东部，黑海和亚速海北岸，国土面积为60万平方公里，人口总量4400万人，首都为基辅，哈尔科夫为乌克兰的第二大城市。
乌克兰的矿产资源储量丰富，其中，铁矿石的储量为275亿吨，锰矿石的储量21亿吨，另外煤、陶土地腊和石墨等储量也比较丰富，但石油和天然气主要依靠进口。
乌克兰是一个发展中国家，在欧洲范围内是比较落后的。2021年的国内生产总值为2000亿美元，人均GDP为4835美元，农业是乌克兰最重要的经济支柱。
乌克兰占有世界上最大的一块黑土地，肥力惊人，是世界上第二大农产品出口国，有“欧洲粮仓”的美誉。
除了农业发达之外，乌克兰在旅游业和黑色金属冶炼，化学材料，以及轻工业等方面也有一定的实力。
乌克兰人衣食住行的情况1、乌克兰的女性非常时尚，她们对于穿着非常挑剔，乌克兰的女性颜值很高，身材非常棒，不管穿什么衣服都非常漂亮。
乌克兰人平时的穿衣风格以休闲为主，做工考究的牛仔裤和风衣是每一个乌克兰人必备的单品。在出席正式场合的时候，乌克兰人才会穿正装。
2、乌克兰人的饮食口味偏淡，平时以面包为主食，牛羊肉和各种新鲜水果是乌克兰人餐桌上常见的美食。
乌克兰的农业畜牧业发达，乌克兰人用餐也离不开牛奶和奶酪，啤酒和咖啡以及红茶是乌克兰人最常见的饮品。
3、乌克兰除了基辅和哈尔科夫之外，其他城市很少能够看到现代化的高楼大厦，很多都是6层以下的低层建筑，看起来城市化程度和基础设施建设比较落后。
乌克兰人居住的房屋很多都是苏联时期建造的，虽然房子里面的装修风格有些落后，基础设施也不齐全，但房屋保存得还是很好的，不影响正常居住。
4、乌克兰有地铁的城市很少，公共交通系统不算完善，城市里面公交车有很多，但经常会晚点。乌克兰的出租车也有很多，但需要提前预约，而且价格方面比较昂贵。
在乌克兰有私家车的家庭不多。由于缺少石油资源，乌克兰的油价也不便宜。在乌克兰的街头总是能够看到很有历史的老爷车。
乌克兰的物价消费水平乌克兰是一个欧洲国家，但乌克兰人的收入是很有限的，平均工资只有2000多元。这个标准在整个欧洲范围之内也处于下游水平的。但工资低有工资低的好处，那就是乌克兰的物价也很低，非常实惠便宜。
当然乌克兰的物价便宜，和乌克兰的农业发达也有很大的关系，毕竟自己生产的东西卖得贵了可不行呀。
乌克兰人买菜喜欢去当地的超市购物，在周末的时候经常会有打折活动。
乌克兰人特别喜欢吃土豆。超市里面的土豆一公斤只要2元钱。他们总是能将土豆换着花样做着吃。
乌克兰的番茄特别红，味道非常甜，一公斤番茄3元钱。
乌克兰的水果会贵一些。
一公斤苹果5元，一公斤香蕉4元，一个菠萝8元。三个火龙果12元。
牛羊肉在乌克兰特别畅销，在超市打折的时候，一公斤牛肉46元，羊肉的价格也差不多。在乌克兰吃鸡肉的人不多，一公斤鸡肉只要12元。
乌克兰的上班族，中午喜欢去附近的肯德基和麦当劳用餐，人均消费25元。
乌克兰的房价比较便宜，首都基辅的平均房价1.2万元。其他城市的房价更便宜，一般都在5000元左右。
乌克兰人的生活状态1、乌克兰人的生活节奏很慢，他们享受这种慢半拍的生活方式。无论是生活还是工作，乌克兰人总是一副吊儿郎当的模样。
2、乌克兰人比较懒惰，一年的假期居然有120多天。乌克兰的很多超市和商场，在周末一般只营业半天，他们认为享受生活是第一位的。
3、乌克兰的水质很差，那里的自来水是不能直接饮用的。乌克兰人喝水和西方很多国家的人一样，都是喝凉水，而且喜欢往里面放一块冰。
4、乌克兰人的生活在我看来是很不便捷的，他们出门是必须要携带现金的，否则购物很不方便，想要在网上点个餐，也没有这项服务。
5、乌克兰人非常注重礼节。拜访当地朋友的时候，一定要提前预约，去的时候最好能拿一个小礼物，可以是一瓶红酒，也可以是一束鲜花。
6、乌克兰人比较讲秩序，无论多么着急，乌克兰人总会按规矩排队。这在他们看来是理所应当的，其实看着队伍很长，但大家都按秩序来，效率还是比较高的。
7、乌克兰人的性格比较腼腆，很多乌克兰人比较害羞，遇到陌生人一般不会主动打招呼。
8、乌克兰人的时间观念较差。和乌克兰人约定时间，一定要晚20分钟再出现，去得早了只能干瞪眼。
9、乌克兰人做任何事情，除了排队还需要提前预约。就算是去理发店剪个头发也是要预约的。
10、乌克兰的科研实力是非常强的，这主要依赖于乌克兰的教育水平比较高，乌克兰的文盲率仅有3%，很多乌克兰的服务生和收银员都是本科学历。
11、乌克兰的医疗技术，在欧洲国家中处于下游水平，很多乌克兰人得了疑难杂症，要去附近的东欧国家治疗。
12、乌克兰女孩颜值很高，她们身材苗条，她们金发碧眼，她们拥有高学历，但她们很多都会抽烟喝酒，而且她们是颜值控。
13、乌克兰人特别喜欢运动，在街头总是可以看到在健身在跑步的乌克兰人，他们身材魁梧，体型匀称。
14、乌克兰人在艺术方面是很有天赋的，很多乌克兰的小孩在舞蹈，音乐，雕塑和绘画等方面都有很好的表现。
15、乌克兰的森林覆盖率很高，自然环境保护得很好，在周末的时候，乌克兰人喜欢去郊外，贴近大自然。
乌克兰好玩的地方圣安德烈教堂
圣安德烈教堂是一座巴洛克风格的教堂，始建于1747年，有两层房屋构成。非常宏伟壮观，是乌克兰的四大地标性建筑之一。
克米拉米屋
克米拉米屋是乌克兰的一座网红景点，这是一座新艺术派建筑，始建于1902年，新世纪以后经过的重新装修，屋子的外部装饰全部是由各种动物组成的雕塑，深受小朋友的喜爱。
切尔诺贝利
切尔诺贝利被称为“鬼城”，切尔诺贝利核电站的泄漏对于人类的影响极大，意义深刻，让人们意识到了核电站并不是没有隐患的。
国家艺术博物馆
国家艺术博物馆成立于1898年，位于首都基辅。里面的藏品来自世界各地的乌克兰艺术家捐赠，主要有水彩画，油画，雕塑和各种手工艺品。
最后小结乌克兰的黑土地土壤肥沃，非常适合农作物的生长，农业是乌克兰的第一大支柱产业，旅游业和轻工业也较为发达。
乌克兰人比较容易满足，虽然他们的工资不高，但那里的物价也是很低的，在他们的脸上总是能够看到笑容，希望世界和平。
12元的茅台能喝吗？
大家好，很高兴再次与大家做分享，如今是白酒流行时代，不管是平常还是逢年过节，中国酒大家好，很高兴再次与大家做分享，如今是白酒流行时代，不管是平常还是逢年过节，中国酒水市场都销量火爆。但中国有句老话：“薄利多销”。那么白酒也一样，但白酒不是薄利多销，而是很多白酒基本是廉价在销售，比如我们经常可以看到很多烟酒店，都摆放着一些十一二元一瓶的白酒，那么这类白酒能喝吗？下面是酒厂员工说出的事情，很真实烟酒店里十一二元一瓶的酒到底是什么样的酒？
这类白酒多数是小作坊出品的白酒，而且很多几乎没有资质，酿造技术不过关的多，或者是小品牌或者是无品牌的白酒。多数都是非常廉价。采用劣质食材酿造的。
比如劣质红薯、玉米等，其实劣质食材酿造的白酒因为里面富含很多醛类、杂醇油物质。口感差，而且刺激性大。
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发布于 2023-06-19 09:18:01